Lista de probleme 82

Se dau numerele naturale n și k. Calculați $C_n^k$.

Gigel are n bile și k cutii. În câte moduri poate plasa Gigel bilele în cutii, știind că pot rămâne și cutii goale.

Gigel are n bile și k cutii. În câte moduri poate plasa Gigel bilele în cutii, știind că în fiecare cutie trebuie plasată cel puțin o bilă.

Se dă un cuvânt format numai din litere mici ale alfabetului englez. Determinați câte cuvinte distincte se pot forma cu literele sale – numărul de anagrame ale sale.

În parcul orașului există trei rânduri de câte n copaci perfect aliniați. Rândurile sunt notate A, B, C, iar copacii de pe fiecare rând sunt numerotați de la 1 la n, ca în imaginea de mai jos:

O veveriță jucăușă sare prin copaci astfel:

• pornește dintr-un copac numerotat cu 1;
• la fiecare pas sare dintr-un copac numerotat cu i într-un copac numerotat cu i+1. Dacă se află într-un copac de pe rândul A sau de pe rândul C, va sări în copacul de pe rândul B, iar dacă se află în copacul de pe răndul B, va sări în copacul de pe rândul A sau în copacul de pe rândul C;
• se oprește într-unul dintre copacii numerotați cu n.

Aflați numărul M de modalități în care se poate deplasa veverița, respectând regulile de mai sus. Dacă n este mai mic sau egal cu 1000, atunci veți afișa chiar numărul M, iar dacă n este mai mare decât 1000, veți afișa restul împărțirii lui M la 666013.

Să se determine numărul de șiruri de lungime 2 * n care conțin paranteze închise corect.

Numerele lui Catalan formează un șir cunoscut în combinatorică. Termenul general al acestui șir este:

$$C_n=C_{2n}^n–C_{2n}^{n+1}=\frac{1}{n+1}\cdot C_{2n}^n=\prod _{k=2}^n\frac{n+k}{k},\text{pentru }n\ge 0$$

Se dă numărul natural n. Să se determine și să se afișeze al n-lea număr Catalan.

Se dă n un număr natural. Să se calculeze suma $\sum _{k=1}^n(k!\cdot (k^2+k+1))$.

Se dă un triunghi de numere. Deduceți regula după care a fost format si afișați al n-lea sir al acestui triunghi.

Pentru o mulţime cu n elemente naturale să se afle câte submulţimi nevide au suma elementelor pară.