Lista de probleme 82

Filtrare

Un număr este special dacă are o cifră cu frecvența strict mai mare decât partea întreagă a jumătății lungimii numărului și nu conține cifra 0. Câte numere speciale există respectiv care este suma tuturor numerelor speciale de lungime N.

După ce Le. Quack a avut mare succes cu noul lui joc de cărți a decis să se apuce de scamatorii, pentru ca este pasionat de cărți îi cere patronului N cărți. Acesta așează toate cărțile pe față și se pregătește să facă o scamatorie. Acesta vrea să întoarcă toate cărțile pe spate, o operație constă în alegerea a mai multor cărți pe față adiacente și întoarcerea lor. Ca să facă totul mai interesant el alege Q persoane din public si acestea îi spun două numere, X Y, cu semnficația ca Le. Quack să facă toate trucurile posibile cu X cărți inițial pe față toate și exact Y operații de întoarcere astfel încât să ajungă cu toate cele X cărți alese pe spate. După fiecare dintre cele Q persoane el repune toate cărțile pe față. Le. Quack trebuie să numere toate posibilitățile de a face fiecare truc de magie doar că nu este bun la informatică așa că vă cere ajutorul!

Se dă N și Q, apoi Q interogări de tipul K X pentru fiecare interogare să se afișeze separate prin spațiu ( ficare interogare pe un rând diferit ):

1. Câți vectori de exact N elemente din intervalul [0,2K) ( mai mari sau egale cu 0 și strict mai mici ca 2K ) există astfel încât valoarea a1 & a2 & ... & aN să fie X-frumoasă. Un număr este X-frumos dacă în reprezentare binară are exat X biți setați ( cu valoare = 1 ). Cu & am notat operația pe biți AND.

2. Câți vectori de exact N elemente din intervalul [0,2K) ( mai mari sau egale cu 0 și strict mai mici ca 2K ) există astfel încât valoarea a1 | a2 | ... | aN să fie X-frumoasă. Un număr este X-frumos dacă în reprezentare binară are exat X biți setați ( cu valoare = 1 ). Cu | am notat operația pe biți OR.

3.Câți vectori de exact N elemente din intervalul [0,2K) ( mai mari sau egale cu 0 și strict mai mici ca 2K ) există astfel încât valoarea a1 ^ a2 ^ ... ^ aN să fie X-frumoasă. Un număr este X-frumos dacă în reprezentare binară are exat X biți setați ( cu valoare = 1 ). Cu ^ am notat operația pe biți XOR.

Anul 1905. Un stat din America de Sud și-a propus investiții majore în infrastructura feroviară. Brazilianul Badinho este managerul unei companii de transport feroviar pe o magistrală importantă. De-a lungul magistralei se află N stații, numerotate de la 1 la N. Fiecărei stații îi corespunde un număr Xi care reprezintă numărul de kilometri de la începutul magistralei până la stația i (X1 = 0). Știind că Badinho trebuie să cheltuiască întreaga sumă pe care ar primi-o dintr-o subvenție, să se determine:
-Numărul de moduri de a deschide o rută de tip Regio, modulo 1.000.000.007
-Numărul de moduri de a deschide o rută de tip Expres, modulo 1.000.000.007

OJI 2022 clasa a X-a

tupleco

#4174

Se consideră două numere naturale K și N. Să se determine numărul T al tuplelor formate din K numere naturale (X1, X2, X3, …, XK) cu proprietățile:

  • 1 ≤ X1 ≤ X2 ≤ X3 ≤ ... ≤ XK ≤ N
  • cel mai mare divizor comun al numerelor X1, X2, …, XK este 1.

Lot juniori, Cluj-Napoca 2022

Fișiere Pracsiu Dan (dnprx) Ciprian Cheșcă, Ionel Vasile Piț-Rada concurs Clasa 10 Probleme diverse Combinatorică

braduti

#4345

Robotul Vasile s-a angajat la fabrica decoraţiunilor de Crăciun unicat. El trebuie să monteze beculeţe colorate în brăduţi, astfel încât oricare doi brăduţi să fie diferiţi. Pe o bandă de asamblare robotul Vasile are la dispoziţie N beculeţe colorate b1, b2, …, bN, astfel încât oricare două beculeţe sunt colorate diferit. În vârful bradului va pune o steluţă, iar pentru montarea beculeţelor în brăduţ el construieşte lanţuri de becuri. Cunoscând numărul N de beculeţe aflate pe banda de asamblare, scrieţi un program care să rezolve următoarele două cerinţe:
1. determină înălţimea bradului (numărul de lanţuri ce pot fi construite cu cele N beculeţe);
2. determină numărul de brazi diferiţi ce pot fi construiţi cu cele N beculeţe.

Olimpiada Municipală de Informatică, Iași, 2023

fotbal2

#4394

Cei N copii de la școala generală vor să formeze o echipă de fotbal compusă din K elevi, dintre care cel puțin unul stângaci și cel puțin unul dreptaci. Pentru fiecare copil i (de la 0 la N-1) se cunoaște intervalul de timp în care acesta este disponibil pentru a face parte din echipă, sub forma unei perechi, [starti, endi], cât și dacă este stângaci sau dreptaci. K copii pot juca în aceeași echipa dacă intervalele de timp în care aceștia sunt disponibili se suprapun în cel puțin un punct (moment de timp). Se cere numărul de moduri în care se poate alcătui o echipă cu K dintre cei N elevi; deoarece acest număr poate să fie foarte mare, el se va afișa modulo 1.000.000.009.

OJI 2023, clasa a X-a

comun2

#4438

Kida și El Bandito Inofensivo au N display-uri digitale care pot afișa litere mici din alfabetul englez. Fiecare dintre cele N display-uri are câte M celule. Pentru fiecare display i, cunoaștem literele care pot fi afișate în fiecare celulă j a sa. El Bandito Inofensivo consideră că un cuvânt de lungime M este comun dacă acesta se poate forma pe cel puțin K dintre cele N display-uri. Auzind asta, Kida vă roagă să o ajutați să calculeze numărul de cuvinte comune distincte. Ajutați-o pe Kida să calculeze numărul de cuvinte comune distincte. De vreme ce acest număr poate să fie foarte mare, se cere restul său la împărțirea prin 1.000.000.009.

ONI 2023 clasa a X-a

planar

#4586

În teoria grafurilor, un graf planar este un graf care poate fi încorporat într-un plan, adică poate fi desenat în plan în așa fel încât muchiile sale să se intersecteze doar în noduri. Cu alte cuvinte, aceste poate fi desenat în așa fel încât oricare două muchii să nu se intersecteze. Florin urmează în perioada 2023-2029 studii în informatică.
Fiind date NR = 2 * N noduri fixe (asemănător cu ceasul clasic) în planul xOy și N muchii, Florin vrea să determine numărul grafurilor distincte planare în care fiecare nod va avea gradul 1. Scrieţi un program care să determine numărul de grafuri obținute de Florin.

bitsir

#4793

Considerăm numerele naturale N, X, Y, M[1], M[2], ..., M[N]. Șirul de numere naturale A[1], A[2], ..., A[N] este numit bun dacă următoarele condiții sunt satisfăcute simultan:

  • A[1] OR A[2] OR ... OR A[N] = X, unde OR reprezintă operația sau pe biți.
  • A[1] XOR A[2] XOR ... XOR A[N] = Y, unde XOR reprezintă operația sau exclusiv pe biți.
  • A[i] AND M[i] = M[i], pentru 1 ≤ i ≤ N, unde AND reprezintă operația și pe biți.

Se dau N, X, Y și M[1], M[2], ..., M[N], cu semnificația din enunț. Să se determine dacă există șiruri bune, respectiv să se determine numărul de șiruri bune, modulo 1.000.000.007.

OJI 2025, clasa a 10-a

Du-te sus!