#1713
Fie N
și T
două numere naturale.
Să se determine numărul soluțiilor diferite S
, ale ecuației
Lot Juniori Focsani, 2016
#1756
După zile întregi de muncă, vrăjitorul Arpsod a terminat de confecționat noua sa baghetă magică, cea mai puternică de până acum. Ca să o testeze, el s-a gândit la următorul antrenament: își va lua K
ținte miscătoare și se va apuca să tragă în ele cu cea mai puternică vrajă a lui, “Blatus Blast”. Fiind o magie foarte solicitantă, vrăjitorul a hotărat că va trage doar de N
ori. Arpsod este un trăgător extraordinar, astfel fiecare din cele N
lovituri va nimeri exact una din cele K
ținte. Într-o sesiune de N
lovituri, unele ținte pot fi lovite de mai multe ori iar altele niciodată. Vrăjitorul consideră că sesiunea de antrenament este reușită numai dacă fiecare țintă a fost lovită CEL PUȚIN O DATĂ.
În timp ce se odihnește pentru următoarea sesiune de antrenament, ca să mai treacă timpul, a început să numere în câte moduri ar fi putut lovi țintele astfel încât sesiunea de antrenament să fie una reușită.
Curioși din fire, v-ați apucat și voi să numărați dar, văzând că numărul modalităților devine prea mare, ați decis să vă mulțumiți cu restul împărțirii acestui număr la 666013
.
Concursul EMPOWERSOFT, 2016
#1645
Toată lumea ştie că Fibocel este pasionat de numere şi că vrea să iasă în evidenţă cu orice preţ. Într-o zi, el s-a decis să numească un număr fibocel (după numele lui) dacă numărul de biţi egali cu 1
din reprezentarea binară a numărului este un număr Fibonacci.
Cum asta nu e de ajuns pentru el, Fibocel s-a decis să propună şi o problemă la concursul lui preferat de la Iaşi.
Să se raspundă la Q
întrebări de forma: Câte numere fibocel există în intervalul închis [A, B]
?
Urmasii lui Moisil, 2016
#143
Se dă o permutare P
a mulțimii {1,2, … ,N}
. Se mai dau Q
întrebări specificate prin câte un număr D
.
Dacă D
este pozitiv trebuie să determinăm a D
-a permutare care succede lexicografic P
iar dacă D
este negativ, a D
-a permutare care precede lexicografic P
.
Grigore Moisil 2013
#1489
Algorel a primit un set de n
bile numerotate de la 1
la n
pe care trebuie să le pună în trei cutii identice astfel încât în nicio cutie să nu fie două bile numerotate cu numere consecutive.
În câte moduri poate face Algorel acest lucru?
Olimpiada locală de Informatică, Prahova, 2016
#2000
Corneluș a învățat să numere. El pornește întotdeauna de la 1
, numără din 1
în 1
, nu greșește niciodată numărul următor, însă ezită uneori și atunci spune numărul curent de mai multe ori. Sora lui, Corina, îl urmărește și face tot felul de calcule asupra modurilor în care numără fratele ei. Astfel, ea urmărește până la cât numără (U
), câte numere spune în total (N
) și, pentru a aprecia cât de ezitant este, numărul maxim de repetări (R
) ale unei valori.
1) Cunoscând numărul total de numere N
și ultimul număr spus U
, trebuie să calculați câte șiruri diferite au exact N
numere și se termină cu numărul U
.
2) Cunoscând numărul total de numere N
și numărul maxim de repetări R
ale unei valori, trebuie să calculați câte șiruri diferite au exact N
numere și fiecare valoare se repetă de cel mult R
ori.
Deoarece numărul de șiruri poate fi foarte mare, calculați restul împărțirii acestui număr la 20173333
.
OJI 2017, Clasa a X-a
#2193
Proba de 100 metri plat este una dintre cele mai populare și prestigioase probe din cadrul oricărui concurs de atletism. Recordul modial al acestei probe este deținut în prezent de sportivul jamaican Usain Bolt cu timpul de 9.58 secunde.
Uneori lupta dintre sportivi este atât de strânsă încât diferențierea dintre atleți se poate face doar cu ajutorul camerelor de luat vederi ce surprind finish-ul atleților. Au existat cazuri când doi sau mai multi atleți au fost declarați la egalitate.
Considerând N
atleți, ce participă la o cursă de 100 metri plat, identificați prin numerele 1
, 2
, …, N
, să se scrie un program care determină numărul P
al clasamentelor distincte care pot fi obținute după finalizarea cursei. De exemplu, pentru N = 2
, se pot obține 3
clasamente distincte: (1,2)
, (2,1)
, (1=2)
; unde (1=2)
reprezintă situația când ambii atleți s-au clasat la egalitate.
ONI 2017, clasa a X-a
#2062
Ion este un tânăr muzician și studiază chitara clasică. La un spectacol în aer liber, Ion a fost invitat să interpreteze câteva dintre piesele sale. Ion are în repertoriu n
piese, a căror durată este t[1]
, t[2]
, …, t[n]
și ştie că timpul care-i va fi alocat nu poate depăşi T
unităţi de timp. Pentru alegerea pieselor, Ion este interesat să ştie câte variante distincte are de a interpreta cel puţin o piesă în spectacol, astfel încât durata totală a pieselor interpretate să nu depăşească T
. Două variante sunt distincte dacă există cel puţin o melodie care se găseşte într-o variantă şi nu se găseşte în cealaltă variantă. Cunoscând n
, T
și duratele pieselor, determinaţi numărul de variante distincte pe care le are Ion de a interpreta piese astfel încât durata lor să nu depăşească T
.
Lot informatica, Alexandria, 2017
#2063
Se consideră o tablă de șah sub forma unei matrice cu M
linii si N
coloane conținând caracterele '.'
si '#'
. Celulele care conțin '#'
sunt considerate interzise și nu se pot așeza turnuri în ele. Celulele interzise nu blochează atacurile turnurilor. Să se calculeze X
, numărul de posibilități de a așeza turnuri în celulele neinterzise, astfel încât să nu existe doua turnuri așezate pe aceeași linie sau pe aceeași coloana. Deoarece acest număr poate fi foarte mare, se va determina X
modulo 1000003
.
Lot informatica, Alexandria, 2017
#2512
Se consideră numerele naturale nenule X
, N
, K
, unde N
este o putere a lui 2
. Pentru o permutare p = (p1,p2,…,pN)
a mulțimii {1,2,...,N}
se determină maximul după modelul din exemplu. Să se determine numărul permutărilor mulțimii {1,2,...,N}
în care valoarea X
va fi prezentă pe nivelul K
, nu și pe nivelul K-1
. Pentru că acest număr poate fi foarte mare, se va determina modulo 1234577
.
Lot juniori Câmpulung Muscel, 2018