Lista de probleme 9

Generaţi un tablou bidimensional cu proprietăţile:

• conţine N linii şi N coloane;
• elementele sale sunt numere naturale nenule;
• suma elementelor este egală cu numărul natural nenul S;
• pe nici o linie şi pe nici o coloană nu există două elemente identice;
• diferenţa dintre cel mai mare şi cel mai mic element ale tabloului este minimă.

O proprietate interesanta a fracțiilor ireductibile este ca orice fracție se poate obține după următoarele reguli:
- pe primul nivel se afla fracția 1/1;
- pe al doilea nivel, în stânga fracției 1/1 de pe primul nivel, plasam fracția 1/2 iar în dreapta ei fracția 2/1;

nivelul 1: 1/1
nivelul 2: 1/2 2/1

- pe fiecare nivel k se plasează sub fiecare fracție i / j de pe nivelul de deasupra, fracția i / (i + j) în stânga, iar fracția (i + j) / j în dreapta.

nivelul 1: 1/1
nivelul 2: 1/2 2/1
nivelul 3: 1/3 3/2 2/3 3/1

Dându-se o fracție oarecare prin numărătorul și numitorul său, determinați numărul nivelului pe care se află fracția sau o fracție echivalentă (având aceeași valoare) cu aceasta.

La o competiție au participat N concurenți. Fiecare dintre ei a primit un număr de concurs astfel încât să nu existe concurenți cu același număr. Numerele de concurs aparțin mulțimii {1,2,...,N}. Din păcate, clasamentul final a fost pierdut, iar comisia își poate aduce aminte doar câteva relații între unii participanți (de genul “participantul cu numărul 3 a ieșit înaintea celui cu numărul 5”). Șeful comisiei are nevoie de un clasament final și vă cere să-l ajutați determinând primul clasament în ordine lexicografică ce respectă relațiile pe care și le amintește comisia.

Pe fiecare din porțile celor n (n <= 100) case dintr-un sat se scrie câte un număr, prin aplicarea unor ștampile cu cifre. Exemplu: pentru a scrie numărul 3404 se vor aplica ștampilele 3 și 0 câte o dată și ștampila 4 de două ori.

Se citesc n numere naturale (cele ce se scriu pe porți) și se cer următoarele:

a) Care este ștampila cea mai puțin folosită?
b) Care este ordinea celor 10 ștampile (cu cele 10 cifre), începând cu cea mai uzată și terminând cu cea mai puțin folosită?
c) Care numere au folosit exact două ștampile?

Impresarul unei formații de muzică trebuie să primească oferte de spectacole și eventual anulări de spectacole din diferite orașe. Orașele sunt codificate prin numerele 1 , 2 ,.., n (1 ≤ n ≤ 20) și fiecare oraș poate organiza cel mult un spectacol. Impresarul ține legătura cu organizatorii de spectacole din aceste orașe și actualizează în permanență datele obținute. Prin fax el primește m (m ≤ 100) mesaje, care pot fi de unul din cele două tipuri:
D
nr
sau
N
nr

Cu semnificațiile: pentru primul mesaj se dorește organizarea unui concert în orașul nr, iar pentru a-l doilea mesaj se dorește anularea spectacolului din orașul nr . Un mesaj este format din exact două linii.

Se cere:
a) Să se afișeze orașele în care va concerta formația de muzică (pe aceeași linie cu un spațiu între ele).
b) Să se afișeze orașul (sau orașele dacă sunt mai multe, pe aceeași linie cu un spațiu între ele) în care organizatorii sunt cei mai nedeciși (adică au anulat și propus organizarea de spectacol în orașul lor de cele mai multe ori).
c) Să se afișeze numărul de orașe care nu au trimis nici un mesaj impresarului.

Un fermier are un teren care are forma unui tablou dreptunghiular de N x M unități. Pe teren sunt plantați din loc în loc copaci, pe care fermierul nu dorește sa-i taie. Dorind să-și supravegheze cultura, fermierul realizează un mic robot de forma pătrată având latura de 3 unități pe care îl poate teleghida prin fermă, parcurgând unitate cu unitate o anumită suprafață. Robotul se poate mișca pe verticală și pe orizontală dar nu poate trece peste copaci, nu îi poate distruge, nu se poate roti și are nevoie pentru mișcare de o suprafață corespunzătoare dimensiunii lui. Ajutați-l pe fermier sa determine suprafața maxima pe care o poate urmări, folosind acest sistem.

Se consideră un graf care inițial este format din P noduri izolate, etichetate de la 1 la P. Se mai consideră N intrări, unde intrare poate însemna:

• comandă – o comandă are forma I + J, cu semnificația că în graf se adaugă muchia care unește nodurile I și J (dacă I și J erau deja unite în acel moment, nu se întreprinde nici o acțiune);
• întrebare – o întrebare este de forma I ? J, adică se întreabă dacă în acel moment I și J sunt în aceeași componentă conexă.

Se pleacă deci de la un graf inițial format din noduri izolate, care pe parcurs se “unifică”. Tot pe parcurs sunteți întrebat dacă anumite perechi de noduri sunt sau nu în aceeași componentă conexă. Scrieți un program care să răspundă la întrebările din fișierul de intrare.

Se dă un dreptunghi cu lungimea egală cu 2N centimetri și lățimea egală cu 3 centimetri. Să se determine numărul M al pavărilor distincte cu dale dreptunghiulare care au lungimea egală cu un centimetru și lățimea egală cu 2 centimetri.

Se dau două numere naturale nenule N și S. Determinați numerele distincte x1, x2, .., xN aparținând mulțimii {1, 2, ..., N} astfel încât
1 * x1 + 2 * x2 + .. + N * xN = S.