Lista de probleme 24

Prin concatenarea a două numere naturale A și B se pot obține numerele naturale AB și BA. Scrieți un program care să rezolve următoarele două cerințe:
1. Pentru un număr natural nenul A dat, să se calculeze P1, numărul numerelor naturale distincte X, unde 1 ≤ X ≤ 10 * A, astfel încât X concatenat cu A sau A concatenat cu X este palindrom.
2. Date fiind numărul natural N și un șir de N numere naturale v[1], v[2], …, v[N], să se calculeze P2, numărul de numere palindrom distincte care se pot obține prin concatenarea numerelor din perechile (v[i], v[j]), unde 1 ≤ i ≤ N și 1 ≤ j ≤ N.

Două echipe, F și R, formate din n jucători fiecare, au participat în cadrul noii ediții ktlon la k probe. După fiecare probă s-au înregistrat în registrul ktlon 2*n valori: primele n reprezintă numărul de puncte câștigate în cadrul probei de jucătorii echipei F și următoarele n reprezintă numărul de puncte câștigate în cadrul probei de jucătorii echipei R. Cunoscând n – numărul de jucători din fiecare echipă, k – numărul de probe și pentru fiecare probă punctajele obținute de cei 2 * n jucători ai celor două echipe, determinați:
1. numărul de probe câștigate de echipa R;
2. numărul de stele obținut de echipa câștigătoare.

Se consideră numerele naturale nenule N și D urmate de o secvență S de N numere naturale nenule ordonate crescător, indexate de la 1 la N. Să se determine numărul de cvintete de indici (i1, i2, i3, i4, i5) ce verifică relațiile:

• a • b • c = D
• a • x2 + b • y2 = c2
• a < b < c
• x ≠ y

unde am notat cu a = S[i1], b = S[i2], c = S[i3], x = S[i4], y = S[i5]. Rezultatul se va afișa modulo 1.000.000.007.

Un număr puternic este un număr natural mai mare decât 1 care are proprietatea că dacă este divizibil cu numărul prim p atunci este divizibil și cu p2. Scrieți un program care citește un număr natural N și apoi un șir de N numere naturale și determină:
1. Câte numere puternice sunt în șirul dat;
2. Care sunt perechile de numere din șirul rămas după ștergerea numerelor puternice, numere egal departate de capetele șirului, prin concatenarea cărora se obține un număr puternic.

Avem la dispoziție n bare metalice cu aceeași grosime, dar lungimi diferite. Putem alege oricare bară și să o tăiem, obținând alte două bare de lungimi mai mici. Ne dorim ca, folosind doar această operație (deci fără să le putem suda), să obținem un număr de bare de anumite lungimi date. Mai exact, dându-se un set de patru numere a, b, c, d, trebuie să decidem dacă putem obține a bare de lungime 1, b bare de lungime 2, c bare de lungime 4 și d bare de lungime 8. Odată aplicată o tăiere de lungime L asupra unei bare, restul poate fi în continuare folosit pentru a tăia alte bare de oricare dintre lungimile dorite. Cunoscând n – numărul de bare metalice și lungimile celor n bare metalice avute la dispoziție, pentru fiecare din seturile de patru numere a b c d date, determinați dacă, pornind de la cele n lungimi date se pot obține barele de lungimile dorite.

După șase ani de lucru, Charles a terminat de curățat instalațiile pentru producerea negrului de fum din Copșa Mică. Pentru a se ține departe de mesele de Blackjack, el s-a angajat la CERN, unde va lucra la noul accelerator de particule numit Even Larger Hadron Collider (ELHC). ELHC are forma unui tunel circular cu o circumferință de P kilometri, P fiind un număr prim. De-a lungul tunelului sunt plasați P senzori numerotați de la 0 la P - 1, distanța dintre doi senzori consecutivi fiind de exact 1 kilometru.

Un experiment efectuat în ELHC constă în studierea unei particule de tip G, 1 ≤ G < P. Dacă această particulă este ridicată la nivelul de energie k și este lansată din dreptul senzorului 0 în direcția senzorului 1, ea va parcurge exact Gk kilometri prin tunel și apoi se va dezintegra, declanșând în acel moment senzorul s în dreptul căruia are loc dezintegrarea particulei. Se consideră că experimentul are date complete dacă, lansând P - 1 particule de tip G ridicate la toate nivelurile de energie k de la 1 la P - 1, este posibil să declanșăm toți senzorii s numerotați cu valori între 1 și P - 1, adică toți senzorii din tunel mai puțin senzorul 0.

Dându-se T perechi de numere G și P, determinați dacă experimentul pentru studierea particulei de tip G într-un tunel de circumferință P produce date complete.

Pentru că îi plac cifrele, Skippie, iepurașul norocos, a stabilit cum se obține cifra de control a unui număr: se efectuează suma cifrelor sale, apoi suma cifrelor acestei sume, până când suma obținută este un număr format dintr-o singură cifră. Această ultimă cifră, spune Skippie, poartă numele de cifră de control. Skippie a ascuns în păadure n ouă roșii. Pe fiecare ou a pictat câte un număr natural nenul. Iar acum se întreabă care este suma dintre cel mai mare și cel mai mic număr natural care se pot forma din toate cifrele distincte folosite în scrierea numărului pictat.
1. Pentru fiecare dintre cele n numere pictate de Skippie aflați suma dintre cel mai mare și cel mai mic număr natural care se pot forma din toate cifrele distincte folosite în scrierea numărului pictat.
2. Pentru fiecare dintre cele n numere pictate de Skippie aflați de câte ori apare cifra de control a numărului pictat în scrierea tuturor numerelor naturale mai mici sau egale decât numărul pictat.

Primarul orașului tocmai a aprobat un proiect pentru construirea unui ștrand la periferia localității. Zona pe care se dorește a fi amplasat ștrandul se poate identifica cu planul 2D (infinit). Aceasta conține N arbori, aflați la coordonate întregi, cu lățimea de 1 metru. Nu există doi arbori la aceeași coordonată x sau y. Mai exact, xi ≠ xj și yi ≠ yj, pentru orice i ≠ j. Care este suma ariilor tuturor regiunilor valide posibile? Rezultatul se va afișa modulo 1.000.000.007.

Definim o expresie ca fiind un șir de caractere e care respectă una dintre următoarele:

• e = "x";
• e reprezintă un număr natural (constantă); (ex. e ∊ {"1", "2"; "200"; ...})
• e = "[e1,e2]" sau e = "(e1,e2)", unde e1, e2 sunt (sub-)expresii. Aici, (•, •) semnifică cel mai mare
  divizor comun a două numere, iar [•,•] semnifică cel mai mic multiplu comun a două numere. De exemplu, avem că (6, 8) = 2, [6, 8] = 24.

Dându-se o expresie e și două numere naturale a, b, să se calculeze eval(e, a) + eval(e, a+1) + ... + eval(e, b). Rezultatul se va afișa modulo 1.000.000.007.

Un laborator specializat studiază mutațiile unui virus pandemic pentru a găsi cel mai bun vaccin pentru combaterea acestuia. Codul unui virus este un șir format din litere (mari și mici) ale alfabetului englez. Numim mutație a virusului pandemic un șir de caractere care are aceeași lungime cu codul virusului și care conține o singură poziție pentru care litera din șir este diferită de litera situată pe poziția respectivă în codul virusului pandemic. Scrieți un program care, cunoscând codul virusului pandemic și lista codurilor virușilor descoperiți în urma testărilor, rezolvă următoarele cerințe:

1. Determină numărul de mutații ale virusului pandemic existente în listă, mutații nu neapărat distincte;
2. Determină mutația cu număr maxim de apariții în listă; dacă există mai multe mutații cu același număr maxim de apariții, se va determina prima mutație, în ordine lexicografică.